v(OD) = (1-p)×v(a) + p×v(b)
(2)
V(OE) = q×v(c) より
v(DE) = q×v(c) - (1-p)×v(a) - p×v(b)
互いに他との内積が 1/2 なので
|v(DE)|2 = q2 + (1-p)2 + p2
- q(1-p) - qp + p(1-p)
= q2 - q + p2 - p + 1
p = 1/2. q = 1/2 のとき
最小値
/2 をとる。
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２． 一辺の長さが 1 である正四面体 OABC がある。 辺 AB を p:(1-p) (0 < p < 1) に内分する点を D, 辺 OC を q:(1-q) (0 < q < 1) に内分する点を E とし v(OA) =v(a), v(OB) = v(b), v(OC) = v(c) とする。 次の (1), (2), (3) に答えよ。 (v(OA) で始点を O 終点を A とするベクトルを表しています) (1) v(OD) を v(a), v(b), p を用いて表せ。 (2) v(DE) を v(a), v(b), v(c), p, q を用いて表せ。 (3) |v(DE)| の最小値を求めよ。 またそのときの p, q の値をもとめよ。 |
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(1) v(OD) = (1-p)×v(a) + p×v(b) (2) V(OE) = q×v(c) より v(DE) = q×v(c) - (1-p)×v(a) - p×v(b) |
v(a), v(b), v(c) は各々長さが 1 で 互いに他との内積が 1/2 なので |v(DE)|2 = q2 + (1-p)2 + p2 - q(1-p) - qp + p(1-p) = q2 - q + p2 - p + 1 |
よって |v(DE)| は p = 1/2. q = 1/2 のとき 最小値 /2 をとる。
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