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解答 (1) φ(θ) = a cos3θ, ψ(θ) = a sin3θ とおくとき φ'(θ) = - 3a cos2θ sin θ ψ'(θ) = 3 a sin2 cos θ である よって dy/dx = ψ'(θ)/φ'(θ) = - sin θ/ cos θ 0 < θ < π/2 のとき dy/dx < 0 なので 曲線は単調減少である。 θ = 0 のとき曲線は (a,0) を通り 曲線は x 軸に接している。 θ = π/2 のとき曲線は (0,a) を通り 曲線は y 軸に接している。 η(θ) = - sin θ/ cos θ とおくと η'(θ) = -1/ cos2 θ である。 d2y/dx2 = d(dy/dx)/dx = (1/(3a))×1/(cos4θ sin θ) 従って 0 < θ < π/2 のとき d2y/dx2 > 0 なので 曲線は下に凸である。 以上より曲線グラフは右図のようになる。 |
(2) 0 < α < π/2 として P = (a cos3α, a sin3α) とする。 P における曲線の接線の傾きは θ = α のときの - sin α/ cos α であるので、 接線の方程式は y - a sin3α = -(sin α/ cos α)(x - a cos3α) である。 従って A(a cosα, 0), B(0, a sinα) である。 ∴ AB の長さは P のとり方かかわらず a である。 |