2004年度採用試験(和歌山県中学)

３． a を正の定数、θ を媒介変数として x = a cos3θ, y = a sin3θ で表される曲線がある。
　　このとき、次の (1), (2) に答えよ。
(1)　0 ≤ θ ≤ π/2 のときこの曲線の凹凸を調べ、グラフの概形をかけ。
(2)　この曲線上の点 P における接線と x 軸、y 軸との交点をそれぞれ A, B とする。
　　　線分 AB の長さは点 P の位置に関係なく一定であることを示せ。 ただし、 P は座標軸上の点でないとする。

４． 次の、[問１]、[問２]に答えよ。
[問1]　背理法を用いて、素数が無限に存在することを証明せよ。
[問2]　「奇数と奇数の和は偶数である」このことを証明するとき
　右のように解答する生徒がいた。この生徒に対して、
どのように指導すればよいか。そのポイントを記述せよ。 		生徒の解答
1 + 3 = 4, 5 + 9 = 14, 7 + 9 = 16, ...
だから、奇数と奇数の和は偶数となる。


５． 次の、[問１]、[問２]に答えよ。
[問1]　平面上に n 本の直線があって、どの２本も平行でなく。
　また、どの三本も１点で交わらないとする。
　これら n 本の直線が平面を an 個の部分に分けるとするとき
　an を n の式で表せ。
[問2]　右の図の 僊BC で、次の (1)、(2) に答えよ。
(1)　AD : DB = 2 : 3, AE : EC = 1 : 3 であるとき
　　BF : FE を求めよ。
　ただし、現行の中学校学習指導要領の範囲内の解法を記述すること。
(2)　(AD/DB)×(BF/FE)×(EC/CA) = 1 となることを証明せよ。
　
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この問題は藤田君の提供によるものです。