2004年度採用試験(和歌山中学)
４． 次の、[問１]、[問２]に答えよ。
[問1] 背理法を用いて、素数が無限に存在することを証明せよ。
[問2] 「奇数と奇数の和は偶数である」このことを証明するとき
右のように解答する生徒がいた。この生徒に対して、
どのように指導すればよいか。そのポイントを記述せよ。
生徒の解答
1 + 3 = 4, 5 + 9 = 14, 7 + 9 = 16, ...
だから、奇数と奇数の和は偶数となる。
[問1] 解答
素数が有限個しかないと仮定する。
p
1
, p
2
, p
3
, ... , p
n
を素数の全てとする(p
1
= 2 としておく)。
a = p
1
p
2
p
3
...p
n
+ 1 おく。
a は 2 以上の整数である。p を a の素因数(a を割り切る素数)の1つとする。
p は素数なので p = p
m
をみたす整数 m が存在する。 1 ≤ m ≤ n である。
p
m
が p
1
p
2
p
3
...p
n
+ 1 を割り切っているので p
m
は 1 を割り切る。
これは矛盾である。
よって素数は無限個ある。
[問2] 略
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