2004年度採用試験(和歌山中学)
５． 次の、[問１]、[問２]に答えよ。
[問1] 平面上に n 本の直線があって、どの２本も平行でなく。
また、どの三本も１点で交わらないとする。
これら n 本の直線が平面を a
n
個の部分に分けるとするとき
a
n
を n の式で表せ。
0 本 平面は 1 個
1 本 平面が 1 個増え 2 個
2 本 平面が 2 個増え 4 個
3 本 平面が 3 個増え 7 個
4 本 平面が 4 個増え 11 個
a
0
= 1 とおく。このとき
n が自然数のとき
a
n
= a
n-1
+ n
よって
a
n
= 1 + (1 + 2 + 3 + ... + n)
= (n
2
+ n + 2)/2
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