1^m+2^m+...+n^mの話(始めの公式の証明)

(1)　1 + 2 + ... + n = n(n+1)/2
(2)　1² + 2² + ... + n² = n(n+1)(2n+1)/6
(3)　1³ + 2³ + ... + n³ = n²(n+1)²/4
の証明を与えよう。

(1)　の証明　　s_n = 1 + 2 + ... + n とおく。
証明１
2s_n = s_n + s_n = (1 + 2 + ... + n)+(n + (n-1) + ... + 1) = (n+1)+(n+1)+...+(n+1) = n(n+1)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　((n+1) の n 個の和)
故に s_n = n(n+1)/2 である。

証明２
s_n = n(n+1)/2 を数学的帰納法で示す。
s₁ = 1= 1 × (1+1)/2 なので n=1 のとき s_n = n(n+1)/2 が成立している。
次に k

1 として n=k のとき s_n = n(n+1)/2 が成立していると仮定する。つまり s_k = k(k+1)/2 とする。
s_k+1 = s_k + (k+1) = k(k+1)/2 + (k+1) = (k+1)(k+2)2
となるので n=k+1 のときにも s_n = n(n+1)/2 が示せた。
以上より、いつでも s_n = n(n+1)/2 が成り立つ。

証明３
整数 n に対して t_n = n(n+1) とおくと
t_n - t_n-1 = n(n+1) - (n-1)n = 2n である。
2s_n = 2(1 + 2 + ... + n) = (t₁ - t₀) + (t₂ - t₁) + ... + (t_n - t_n-1) = t_n - t₀ = t_n = n(n+1)
故に s_n = n(n+1)/2 である。

注意　証明２と証明３は基本的同じである。

(2)　の証明　　s_n = 1² + 2² + ... + n² とおく。
証明１　 n(n+1)(n+2) - (n-1)n(n+1) = 3n(n+1) より
1×2 + 2×3 + ... + n(n+1) = n(n+1)(n+2)/3 である。
1×2 + 2×3 + ... + n(n+1) = (1+1²) + (2+2²) + ... + (n+n²) であるから
s_n = 1² + 2² + ... + n² = n(n+1)(n+2)/3 - n(n+1)/2 = n(n+1)(2n+1)/6

証明２　n(n+1)(2n+1) - (n-1)n(2(n-1)+1) = n(2n²+3n+1)-n(2n²-3n+1) = 6n² 等より
6s_n = 6(1² + 2² + ... + n²) = n(n+1)(2n+1) - (1-1)×1×(2(1-1)+1) = n(n+1)(2n+1) を得る。

(3)　の証明　　s_n = 1³ + 2³ + ... + n³ とおく。
証明１　 n(n+1)(n+2)(n+3) - (n-1)n(n+1)(n+2) = 4n(n+1)(n+2) より
1×2×3 + 2×3×4 + ... + n(n+1)(n+2) = n(n+1)(n+2)(n+3)/4 である。よって
0×1×2 + 1×2×3 + ... + (n-1)n(n+1) = (n-1)n(n+1)(n+2)/4 である。
(n-1)n(n+1) = n³ - n であるから
s_n = (n-1)n(n+1)(n+2)/4 + n(n+1)/2 = n(n+1)(n²+n-2+2)/4 = n²(n+1)²/4 である。

証明２　 n²(n+1)² - (n-1)²n² = 4n³ 等より s_n = n²(n+1)²/4 を得る。

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入力ミスを西宮の井上超さんに指摘して頂きました。

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