1m+2m+...+nmの話(定理３の証明)
fm+1(x) = fm+1(x-1) + xm+1 であるから
f 'm+1(x) = f 'm+1(x-1) + (m+1)xm である。故に
f 'm+1(n) - f 'm+1(n-1) = (m+1)×nm
f 'm+1(n-1) - f 'm+1(n-2) = (m+1)×(n-1)m
f 'm+1(n-2) - f 'm+1(n-3) = (m+1)×(n-2)m
.
.
f 'm+1(2) - f 'm+1(1) = (m+1)×2m
f 'm+1(1) - f 'm+1(0) = (m+1)×1m
であるから,全ての自然数 n に対して
f 'm+1(n) - f 'm+1(0) = (m+1)fm(n)
が成り立つので a = f 'm+1(0) とおくと
f 'm+1(x) = (m+1)fm(x) + a
が成り立つ。f m+1(0) = 0 に注意すると定理を得る。
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