前のページの記号を使って次を示す。

主張　 m を 2 以上の整数とするとき f_m(x) の x の係数は B_m である。

B(x) = B₀ + B₁x + (B₂/2)x² + (B₃/3!)x³ + (B₄/4!)x⁴ + (B₅/5!)x⁵ + (B₆/6!)x⁶ + (B₇/7!)x⁷ + (B₈/8!)x⁸ + (B₉/9!)x⁹ + ... 　　 とおくと
x = (e^x-1)B(x) である。

D を微分演算子 d/dx とする。
n, m を 0 以上の整数とするとき
D^mxⁿ = n(n-1)(n-2)...(n-m+1)x^n-m 　　　m ≤ n のとき
D^mxⁿ = 0　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　m > n のとき
従って次が成り立つ。

B(D)xⁿ = B₀xⁿ + nB₁x^n-1 + (n(n-1)/2)(B₂x^n-2) + (n(n-1)(n-2)/3!)(B₃x^n-3) + ... + B_n
この多項式を B_n(x) で表すと B(D)xⁿ = B_n(x) となる。

e^Dx^k = (1 + D + D²/2 + D³/3! + ... )x^k = x^k + kx^k-1 + (k(k-1)/2)x^k-2 + (k(k-1)(k-2)/3!)x^k-3 + ... = (x+1)^k　　 成り立つので
e^DB_n(x) = B_n(x+1) を得る

x = (e^x-1)B(x) より D = (e^D-1)B(D) をえる。よって Dxⁿ = (e^D-1)B(D)xⁿ つまり
nx^n-1 = B_n(x+1) - B_n(x) を得る。 n を m+1 に置き換えて
(m+1)x^m = B_m+1(x+1) - B_m+1(x) を得る。これより
(m+1)0^m = B_m+1(1) - B_m+1(0)
(m+1)1^m = B_m+1(2) - B_m+1(1)
(m+1)2^m = B_m+1(3) - B_m+1(2)
　　　...
(m+1)n^m = B_m+1(n+1) - B_m+1(n) を得て
(m+1)(1^m + 2^m + 3^m + ... + n^m) = B_m+1(n+1) - B_m+1(0) を得る。

以後 m ≥ 2 とする。
前のページの記号を使うと
(m+1)f_m(x) = B_m+1(x+1) - B_m+1(0) となることがわかる。 一歩戻って次を得る。
(m+1)f_m(x) = (m+1)x^m + B_m+1(x) - B_m+1(0) を得る。
B_m+1(x) の x の係数は (m+1)B_m であるから
f_m(x) の x の係数は B_m である。

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