５ xy 平面上に曲線 C : y = x2 - 5/4 がある。 C 上の異なる 2 点 P, Q の x 座標をそれぞれ p, q とする。 P, Q における C の２本の接線の交点を R とし、 3点 P, Q, R を通る円の中心を (X, Y) とする。 次の問いに答えよ。 (1)　X, Y を p, q で表せ。 (2)　p - q = 1 のとき、X2 を Y で表せ。 解答 P, Q　における C の接線の方程式は各々 　y = 2p(x - p) + p2 - 5/4 　y = 2q(x - q) + q2 - 5/4 従って、この２本の直線の交点は 　　((p+q)/2, pq-5/4) (X,Y) は (p,p2 - 5/4) と ((p+q)/2,pq-5/4) と等距離にあるので 　(X - p)2 + (Y - p2 + 5/4)2 = (X - (p+q)/2)2 + (Y - pq + 5/4)2 これより 　4X + 8pY = 4p3 + 4p2q - 7p + q 同様に (X,Y) は (q,q2 - 5/4) と ((p+q)/2,pq-5/4) と等距離にあるので 　4X + 8qY = 4q3 + 4pq2 - 7q + p これを解いて 　X = (p+q)(1-4pq)/4, Y = (p+q)2/2 - 1 を得る。 p - q = 1 のとき 　X = (2q + 1)(1 - 4q - 4q2), Y = (4q(q+1) - 1)/2 よって 　X2 = (4q(q+1) + 1)(-2Y)2 = (2Y + 2)(2Y)2 = (Y+1)Y2/2 　　戻る