解答
(1)
+ 
が x = 0, y = 1 でも成り立つので 4 a が成り立つ。
いま a = 4 とする。 y 0 として固定する。
f(x) = + - とおく。
このとき
x > 0 のとき
f'(x) = 1/(2) - 1/(2) 0
であり f'(0) = 0 であるので
f(x) 0 成り立つ。
答えは a = 4 である。
(2) a = 4 とする。
+ 
+ 
が x = 0, y = 0, z = 1 でも成り立つので 9 b が成り立つ。
さらに b = 9 とする。 y 0、z 0
として固定する。
g(x) = + +
- とおく。このとき
x > 0 のとき
g'(x) = 1/(2) - 1/(2)
0 であるので
g(x) g(0) = 2 +
- 
が成り立つ。
今度は z 0
として固定して y を動かす。
h(y) = 2 + -
とおく。このとき
y > 0 のとき
h'(x) = 1/ - 2/ 0
が成り立つ。
(ay+bz = 4x+9y 4(x+y) なので上の不等式が成り立つ。)
よって h(y) h(0) = 0 であるので
x 0, y 0、z 0、 のとき、
+ +
が成り立つ。よって b 最大値は 9 である。
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