オーベルの定理

オーベルの定理の証明

始めの円を単位円となるよう座標をいれ
A,B,C,D,E,F,P,Q,R,S に対応する複素数を
a,b,c,d,e,f,p,q,r,s とする。
直線の話(平行条件) より

　ad = be = cf である。これより
　pad - abc = pbe - abc = pcf - abc である。
これを g とおく。
(PD と BC が交わるので g は 0 でない。)

直線の話(直線条件) より

　q + pdq = p + d
　q + bcq = b + c　　　これより、

　(pd - bc)q = pd(b+c) - bc(p+d)　　よって
　gq = a(pd - bc)q = pabd + pacd - pabc - abcd

　を得る。同様に ad = be をも加味して

　gr = pbce + pabe - pabc - abce
　　　= pacd + pa²d - pabc - a²cd　　これより

　g(q-r) = ad(p-c)(b-a)
p, a, b, c は全て長さが 1 なので

　((q-r)/(d-a)) = 　(ad(p-c)(b-a)/(g(d-a)))
　　 = (d(p-c)(b-a)/((pd-bc)(d-a)))
　　 = d(c-p)(a-b)/((bc-pd)(a-d)) = (q-r)/(d-a)　　を得る

これは AD と QR が平行であることを
示している。
同様に、QS もこれらと平行なことが示せる。

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