(キ) (1/6)(1-(-1/2)n-1) (ア) 始めどこにいっても、次に戻る確率は 1/4 (イ) 2 秒後に空色のところで平面に接するためには 最初に、空色と黄色に隣り合う二つの面のどちらかが平面に接しないといけない。 1/2 × 1/4 で 1/8 が答え (ウ)から(カ) 黄色に隣り合う面は全て空色の面と条件が同じなので、 それらの一つ一つが n 秒後に平面に接している確率は qn である。 空色の対面が n 秒後に平面に接している確率を rn とおく。このとき pn+1 = qn/4 + qn/4 + qn/4 + qn/4 = qn rn+1 = qn/4 + qn/4 + qn/4 + qn/4 = qn (p1 = 0 = r1 なのでいつも pn = rn であることに注意しておく) qn+1 = pn/4 + qn/4 + qn/4 + rn/4 = pn/2 + qn/2 (キ) pn+1 = qn で qn+1 = pn/2 + qn/2 より pn+2 = pn/2 + pn+1/2 変形して pn+2 - pn+1 = (-1/2)(pn+1 - pn) これより p2 = 1/4, p1 = 0 に注目して pn+1 - pn = (-1/2)n-1(p2 - p1 ) = (-1/2)n-1 × 1/4 = (-1/2)n+1 従って pn - p1 = (-1/2)n+(-1/2)n-1+(-1/2)n-2+ ... + (-1/2)2 = (1/4)(1-(-1/2)n-1)/(1-(-1/2)) = (1/6)(1-(-1/2)n-1) (n が 2 以上のとき求めたが、最後の結果は n = 1 のときも成立する。 ) 一つ戻る 二つ戻る indexに戻る |