問題１

a, b, c, d, e を正の数とするとき

(あ)　(a + b)/2 ≥ root((ab + ba)/2)

は成り立っている。(相加・相乗平均値の定理)

また

(い)　(a + b + c)/3 ≥ root((ab + bc + ca)/3)

は成り立っている。(前問参照)

それでは、次は成り立っているか？
正しいときは証明を、間違っているときは反例を与えよ。

(う)　(a + b + c + d)/4 ≥ root((ab + bc + cd + da)/4)

(え)　(a + b + c + d + e)/5 ≥ root((ab + bc + cd + de + ea)/5)

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(う) は正しくて、(え) は誤りである。

(a + b + c + d)2 - 4(ab + bc + cd + da) = (a - b + c - d)2 ≥ 0 より (う) は正しい。

a = b = 2, c = d = e = 1 のとき
(a + b + c + d + e) 2 = 49 で 5(ab + bc + cd + de + ea) = 50 なので (え) は誤りである。