証明 　α, β, γ, δ と a, b, c の間には次の関係がある。 (い)　3 α = a + b + c (ろ)　3 β2 = ab + bc + ca (は)　γ3 = abc (に)　3 δ2 = a2 + b2 + c2 a,b,c,α, β, γ, δ が正であることに注意して計算を行う。 3 δ2 = (a2 + b2 + c2)(1 + 1 + 1) 　　≥ (a + b + c)2 = 9α2 従って δ ≥ α である。 　(シュワルツの不等式を使った。) 9 α2 - 9 β2 = (a + b + c)2 - 3(ab + bc + ca) 　　= (a2 + b2 + c2) - (ab + bc + ca) 　　= ((a-b)2 + (b-c)2 + (c-a)2))/2 ≥ 0 よって　α ≥ β である。 相加・相乗平均値の定理より β2 ≥ γ2 よって β ≥ γ である。 いずれの不等式も等号が成立するのは a = b = c の時である。 問題１　　 問題２ 一つ戻る　　 戻る