初等幾何学

a, b, c を正の数として, p, q を自然数とするとき

a^p+q + b^p+q + c^p+q ≥ a^pb^q + b^pc^q + c^pa^q

である。

上の主張が正しいことを証明しよう。

正の数 a, b, c と 2 以上の自然数 n をとり、固定しておく。
0 ≤ k ≤ n なる整数 k に対して
　　α_k = a^n-kb^k + b^n-kc^k + c^n-ka^k 　とおく。(α_n = α₀ である。)
α₀, α₁, α₂, ... , α_n-1 のうちの最大のものを α_m とおく。
α₀ ≥ α_m (実は α₀ = α_m) を示せばよい。
α₀ < α_m と仮定して矛盾を導こう。

n ≥ 2m のとき
α₀α_2m = (aⁿ + bⁿ + cⁿ) (a^n-2mb^2m + b^n-2mc^2m + c^n-2ma^2m )
　　≥ (a^n-mb^m + b^n-mc^m + c^n-ma^m)² = α_m²
を得る。(シュワルツの不等式より)
これは α₀ < α_m, α_2m ≤ α_m に反する。

n < 2m のとき
α_nα_2m-n = (bⁿ + cⁿ + aⁿ) (a^2n-2mb^2m-n + b^2n-2mc^2m-n + c^2n-2ma^2m-n )
　　≥ (a^n-mb^m + b^n-mc^m + c^n-ma^m)² = α_m²
を得る。(シュワルツの不等式より)
これは α_n = α₀ < α_m, α_2m-n ≤ α_m に反する。

以上より α₀ ≥ α_m が示された。

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s ≥ 2 で a₁, a₂, .... , a_s を正の数として p, q を自然数とするとき
a₁^p+q + a₂^p+q + .... + a_s^p+q ≥ a₁^pa₂^q + a₂^pa₃^q + ... + a_s^pa₁^q 　である。