一辺の長さが 1 の正７角形 ABCDEFG がある。 b = AC, c = AD とおく。このとき (0)　b = 2 cos π/7, c = 1 + 2 cos 2π/7 (3)　c3 - 2c2 - c + 1 = 0 (4)　b3 - b2 - 2b + 1 = 0 であった。(0) より (3), (4) を導いてみよう。 α = cos π/7 + i sin π/7 とおくと α7 = -1 で α ≠ -1 である。 ∴ α6 - α5 + α4 - α3 + α2 - α + 1 = 0 ∴ α3 - α2 + α - 1 + α-1 - α-2 + α-3 = 0 b = 2 cos π/7 = α + α-1 である。 α3 + α-3 = (α + α-1)3 - 3(α + α-1) = b3 - 3b α2 + α-2 = (α + α-1)2 - 2 = b2 - 2　であるから (4) を得る。 β = cos 2π/7 + i sin 2π/7 とおくと β7 = 1 で α ≠ 1 である。 ∴ β6 + β5 + β4 + β3 + β2 + β + 1 = 0 ∴ β3 + β2 + β + 1 β-1 + β-2 + β-3 = 0 c - 1 = 2 cos 2π/7 = β + β-1 より 上と同様にして (c-1)3 - 3(c-1) + (c-1)2 -2 + (c-1) + 1 = 0 を得る。 整頓して (3) を得る。 １つ戻る　　 戻る