補題２の証明
a0 = 0 と仮定すると f(x)/x は Ω - {0} に属することは
容易に示されるがこれは補題１に反する。
よって a0 ≠ 0 である。
f(x) は整数係数で f(3) = 0 なので a0 は 3 の倍数である。(ここは証明は略)
Ω ∈ f(x) なので a0 ≥ -2 である。
a0 は 3 の倍数、a0 ≥ -2 で a0 ≠ 0
なので a0 ≥ 3 つまり (イ) が示せた。
2 ≤ m ≤ n なる自然数 m に対して
hm(x) = f(x) - (xm - 3xm-1 - x + 3) とおく。このとき、
Ω ∈ xm - 3xm-1 - x + 3 ではないので
f(x) ≠ xm - 3xm-1 - x + 3 つまり hm(x) ≠ 0 である。
deg hm(x) ≤ deg f(x) で hm(0) = f(0) - 3 < f(0) なので、補題1より hm(x) は Ω には属さない。
hm(x) は明らかに Γ に属しているので、hm(x) の係数の
どれかは -2 より小さい。
f(x) の係数はすべて -2 以上なので、その可能性があるのは xm の係数と
定数項のみである。
ところが hm(0) = a0 - 3 ≥ 0 ((イ)より) であるので、
残るのは xm の係数である。
am は整数で am ≥ -2 で am - 1 < -2 なので am = -2 である。((ロ)が示せた)
f(x) = -2xn - 2xn-1 - ... - 2x2 + a1x +
a0 と表されることがわかった。
f(1) = 0 より -2(n-1) + a1 + a0 = 0
f(3) = 0 より -3n+1 + 9 + 3a1 + a0 = 0
を得る。これから a1 を消去して
2a0 = -3(3n - (2n+1)) を得る。
3n - (2n+1) ≥ 0 は明らかなので ..... (*)
(ハ) を得る。
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(*) の証明
3n - (2n+1) =
(1+2)n - (2n+1) ≥ 1 + n×2 - (2x+1) = 0
(二項展開を使う)