n を自然数とする。xy 平面ないの原点を中心とする 半径 n の円の内部と周を合わせたものを Cn であらわす。次の条件を (*) をみたす一辺の 長さが 1 の正方形の数を N(n) とする。
(*) 正方形の 4 頂点はすべて Cn に含まれ、 4 頂点の x および y 座標はすべて整数である。
このとき
n
∞ のときの
N(n)/n2 の極限値は π であることを示せ。ヒント
4 頂点の x および y 座標はすべて整数である一辺の長さが 1 の正方形は 整数の組 k,m を用いて、頂点が (k,m),(k+1,m),(k+1,m+1),(k,m+1) の正方形としてあらわされる。
(*) をみたす一辺の長さが 1 の正方形の和集合を Ln であらわすと
Ln は Cn に含まれ
Ln の面積は N(n) である。
n ≥ 3 のときには Cn-2 が Ln に含まれることを使う。
| 解答 戻る |
|