f(0) = 0 かつ x > 0 で f'(x) > 0 なので x ≤ 0 で f(x) は狭い意味で単調増加であり f-1 も単調増加である。 y = f(x) のグラフは x ≤ 0 で、 原点 (0,0) を通り、右肩上がりである。(図をそのグラフとする) (1)　a > 0 で b = f(a) とする。 　　　(増加を押す) ∫0a f(x)dx は黄色の部分の面積であり 　　　(増加を押す) 逆写像の定義より ∫0b f-1(x)dx は空色の部分の面積である。 よって、その二つの和は ab に等しい。 (2)　a > 0, b > 0 とする。 case 1 　b = f(a) のとき (1) より 　　　∫0a f(x)dx + ∫0b f-1(x)dx = ab　である。 　　　(増加を押す) case 2　b > f(a) のとき　c = f(a) とおく。 このとき b > c であり (1) より 　　　∫0a f(x)dx + ∫0c f-1(x)dx = ac　 である。 c < x < b で a = f-1(c) < f-1(x) なので 　∫cb f-1(x)dx = ∫cb (a + f-1(x) - a)dx 　　　= a(b-c) + ∫cb (f-1(x) - a)dx > a(b-c)　である。よって 　　　∫0a f(x)dx + ∫0b f-1(x)dx > ab　である。 　　　続く 戻る