case 3　b < f(a) のとき　d = f-1(b) とおく。 このとき a > d であり (1) より 　　　∫0d f(x)dx + ∫0b f-1(x)dx = db　 である。 d < x < a で b = f(d) < f(x) なので 　∫da f(x)dx = ∫da (b + f(x) - b)dx 　　　= (a-d)b + ∫da (f(x) - b)dx > (a-d)b　である。よって 　　　∫0a f(x)dx + ∫0b f-1(x)dx > ab　である。 以上よりいつでも ∫0b f-1(x)dx ≥ ab　であり 等号が成立するのは b = f(a) が成り立つ時のみである。 (3)　x ≥ 0 のとき f(x) = xn とおくと f-1 = x1/n である。 (2) が使える状況なので a = s, b = tn と設定のもとで (2)　を適用すると 　　(sn+1 + ntn+1)/(n+1) ≥ stn を得る。等号が成り立つのは tn = f(s) のとき、つまり t = s のときのみである。 　 一つ戻る 　戻る