正木１
2/(3!) + 3/(4!) + 4/(5!) + 5/(6!) + 6/(7!) + 7/(8!) + 8/(9!) + 9/(10!) + 10/(11!)
+ 11/(12!)
を既約分数で n/m 表したとき, n を 2002 で割った余りを求めよ。
解説
2/(3!) = 1/(2!) - 1/(3!)
3/(4!) = 1/(3!) - 1/(4!)
4/(5!) = 1/(4!) - 1/(5!)
・
・
・
11/(12!) = 1/(11!) - 1/(12!)
これより、与えられた数は 1/2 - 1/(12!) = (12!/2 - 1)/(12!) である。
m = 12!, n = 12!/2 - 1 とおくとき m と n は互いに素である。(n/m は既約分数である。)
(解説２(1) で説明)
2002 = 2×7×11×13 である。
2×7 = 14 = 13 + 1, 7×12 = 7×(13-1) = 7×13 - 13 + 6 より
12!/2 は 13 で割ると 6 余る。(解説２(2) で説明)
12!/2 は 2×7×11 で割り切れる。
従って 12!/2 は 2002 で割ると 1540 余る。(解説２(3) で説明)
n は 2002 で割ると 1539 余る。
解説２
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