(4)を使ったもとの問題の証明

正方形 ABCD と FKLE は GH に関して対称だから
⊿FGI と ⊿AGR, ⊿BEI と ⊿KDR,⊿CHE と ⊿LHD は
各々合同であり、それらの周の総和は 8AB である。
よって ⊿FGI,⊿BEI,⊿CHE の周の総和は 4AB である。
⊿FGI,⊿BEI,⊿CHE 全て相似で
(4) より EI = GI + HE であるから
⊿BEI の周の和は、⊿FGI と ⊿CHE との周の和に等しい
よって BE + BI + EI = 2AB = 2EF を得る。
  (増加を押す)

⊿BEI の内接円の半径を r とおくと
∠EBI = 90°より
2r = BE + BI - EI
  = BE + BI + EI - 2EI
  = 2EF - 2EI
  = 2FI    を得るので
r = FI となる。

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