この公式の証明にあたっては 四角形 ABCD の外接円の半径が 1 の場合に 証明すれば十分でしょう。 四角形 ABCD の外接円の中心を O とし B は A を O を中心として 4α 回転 C は B を O を中心として 4β 回転 D は C を O を中心として 4γ 回転 A は D を O を中心として 4δ 回転 (ただし α + β + γ + δ = 90°) したものとする。このとき a = 2 sin 2α b = 2 sin 2β c = 2 sin 2γ d = 2 sin 2δ s = sin 2α + sin 2β + sin 2γ + sin 2δ である。 s-a = - sin 2α + sin 2β + sin 2γ + sin 2δ s-b = sin 2α - sin 2β + sin 2γ + sin 2δ なので (s-a)(s-b) = (sin 2γ + sin 2δ)2 - (sin 2α - sin 2β)2 である。 sin 2α - sin 2β = 2cos(α + β) sin(α - β) で sin 2γ + sin 2δ = 2sin( γ + δ) cos( γ - δ) = 2cos(α + β) cos( γ - δ) (α + β + γ + δ = 90°より)　なので (s-a)(s-b) = (2cos(α + β))2 ((cos( γ - δ))2 -(sin(α - β))2) を得る。 同様に (s-c)(s-d) = (2cos(γ + δ))2 ((cos( α - β))2 -(sin(γ - δ))2) を得る。 　 続く　　 戻る