面積

OA = OB = OC = OD = 1
∠AOB = 4α, ∠BOC = 4β, ∠COD = 4γ, ∠DOA = 4δ
α + β + γ + δ = 90°
a = 2 sin 2α, b = 2 sin 2β, c = 2 sin 2γ, d = 2 sin 2δ
s = sin 2α + sin 2β + sin 2γ + sin 2δ
(s-a)(s-b) = (2cos(α + β))² ((cos( γ - δ))² -(sin(α - β))²)
(s-c)(s-d) = (2cos(γ + δ))² ((cos( α - β))² -(sin(γ - δ))²) であった。　

2cos(α + β)cos(γ + δ) = 2cos(α + β)sin(α + β) = sin(2α + 2β) である。

(cos( γ - δ))² + (sin(γ - δ))² = 1 = (cos( α - β))² (sin(α - β))² 　　より
(cos( γ - δ))² -(sin(α - β))² = (cos( α - β))² -(sin(γ - δ))² 　　である。

2((cos( γ - δ))² -(sin(α - β))²)
　　= 2(cos( γ - δ))² - 1 + 1 - 2(sin(α - β))²
　　= cos( 2γ - 2δ) + cos(2α - 2β)
　　= cos( 2γ - 2δ) + cos(2α - 2β) - (cos( 2γ + 2δ) + cos(2α + 2β))
　　　　　　　(2α + 2β + 2γ + 2δ = 180°より)
　= 2 sin 2γ sin 2δ + 2sin 2α sin 2δ > 0　　を得る。

従って
root((s-a)(s-b)(s-c)(s-d))
　　= sin(2α + 2β) (2 sin 2γ sin 2δ + 2sin 2α sin 2δ)　　を得る。

∠ABC = 2γ + 2δ, ∠ADC = 2α + 2β, 2α + 2β + 2γ + 2δ = 180°より
sin ∠ABC = sin(2α + 2β) , sin ∠ADC = sin(2α + 2β) に注意すると
　S　= sin(2α + 2β) (2 sin 2γ sin 2δ + 2sin 2α sin 2δ) を得る。

以上より、もとめる結果を得る。

１つ戻る　　戻る　　