∠BAC = 90°、a = AB, b = CA, c = AB �僊BD ,�僊DC の内接円の半径を各々 r, s とする r, s の一方が有理数ならば残りも有理数である。 �僊BD の内心を I とし、 I から BD, DA, AB に下ろした垂線の足を各々 E, F, G とする。 α = ∠IBE, β = ∠IAG, γ = ∠IDE とおき �僊BD, �僊DC の面積を各々 R, S とおく。このとき �@　tan α = tan (∠ABC)/2 = b/(a+c) �A　r = IE = BE tan α �B　AG = AB - BG = AB - BE = c - r/tan α �C　tan β = IG/AG = r/AG �D　tan (α + β) = (tan α + tan β)/(1 - tan α tan β) �E　α + β + γ = 90°なので tan γ = 1/tan (α + β) �F　r = ED tan γ �G　BD = BE + ED 　　AD = AF+FD = AG + ED 　　CD = BC - BD �H　2R = (AB+BD+DA)r, 2S = (AD+DC+CA)s である。 r が有理数だと仮定しよう、 a,b,c は有理数で R+S が有理数に注意しておく。 戻る　　 続く