放物線 y = x2 の相異なる３点 P, Q, R は �儕QR が正三角形となるように動いている。 (1)　P, Q, R の x 座標を p, q, r とするとき 　　p2 + q2 + r2 を pq + qr + rp のみで表せ。 (2)　�儕QR の重心は ある一つの放物線上にあることを示せ。 (1)　PQ2 - PR2 = 0 より (q-p)2 + (q2-p2)2 - (r-p)2 + (r2-p2)2 = 0 よって (q-r)(q+r-2p) + (q2-r2)(q2+r2-2p2) = 0 q-r ≠ 0 なので q + r - 2p + (q + r)(q2 + r2 -2p2) = 0 つまり q + r - 2p + q3 + q2r + qr2 + r3 -2p2q - 2p2r = 0 ..... �@ 同様に QR2 - QP2 = 0 より r + p - 2q + r3 + r2p + rp2 + p3 -2q2r - 2q2p = 0 ..... �A �@ - �A より 3(q-p) + (q3-p3) + 3(q2-p2)r + (q-p)r2 + 2pq(q-p) = 0 q-p ≠ 0 なので 3 + q2 + pq + p2 + 3qr + 3rp + r2 + 2pq = 0 つまり p2 + q2 + r2 + 3(pq + qr + rp) + 3 = 0 よって p2 + q2 + r2 = -3(pq + qr + rp) - 3 続く　　 戻る