n を 3 以上の自然数とする。点 O を中心とする半径 1 の円において、
円周を n 等分する点を P0,P1,...,Pn-1 を時計回りにとる。
各 i = 1, 2, ..., n に対して、直線 OPi-1 と OPi と
それぞれ 点 Pi-1, Pi で接するような放物線を Ci とする。
ただし、Pn = P0 とする。
放物線 C1,C2,...,Cn によって囲まれる部分の面積を Sn とするとき
を求めよ。
ヒント
(1) Ci の軸は Pi-1, Pi の垂直二等分線であることを示す。
Ci の軸は O を通ることになる。
(2) O を原点 Ci の軸が y 軸となるように座標をいれて考える。
このとき Pi-1, Pi は各々 (-α, β), (α, β) となる。
ただし θ = π/n; とおいて α = cos θ, β =sin θ である。
(3) (2) 状況のもと Ci の方程式を y = ax2 + b とおくと
2aα2 = β, b = aα2 である。
(4) OPi-1, OPi と Ci で囲まれる図形の面積は
2aα3 即ち αβ/3 ( = sin(2π/n)/6) となる。
(5) Sn = n sin(2π/n)/6 なので
= π/3解答 一つ戻る 戻る