累乗平均の定理

ヒントの話

n = 3, r = 2, s = 3 の場合を証明しよう。
つまり
a, b, c を正の実数としたとき
　3(a⁵ + b⁵ + c⁵) ≥ (a² + b² + c²) (a³ + b³ + c³)
が成り立つ。等号は a = b = c のときのみ成立する。

を証明しよう。

　(a² + b² + c²) (a³ + b³ + c³)
　　　= a⁵ + b⁵ + c⁵ + a²b³ + a³b² + a²c³ + a³c² + b²c³ + b³c²
a⁵ + b⁵ ≥ a²b³ + a³b²
a⁵ + c⁵ ≥ a²c³ + a³c²
b⁵ + c⁵ ≥ b²c³ + b³c²
より求める不等式が示される。
また等号条件も確かめられる。

注意
　　a^r+s + b^r+s - (a^rb^s + a^sb^r) = (a^r - b^r)(a^s - b^s)
これは
　　a > b のときは正
　　a = b のときは 0
　　a < b のときは正
よって
　　a^r+s + b^r+s ≥ a^rb^s + a^sb^r
であり、等号は a = b のときのみ成り立つ。

証明
戻る