累乗平均の定理

n を自然数として
a₁, a₂,..., a_n を n 個の正の実数とする。
r, s を自然数として m = r + s とするとき

公式１
(a₁^m+a₂^m+...+ a_n^m)/n ≥ ((a₁^r+a₂^r+...+ a_n^r)/n) ((a₁^s+a₂^s+...+ a_n^s)/n)
が成り立つ。

これの応用、又は証明の応用として、同じ記号の下次を示せ。

問題１
(a₁^m+a₂^m+...+ a_n^m)/n ≥ ((a₁+a₂+...+ a_n)/n)^m

問題２
p,q,r,ｓを 0 ≤ p < r ≤ m/2 で p+q = m,r + s = m
を満たす整数とする。このとき、次が成り立つが否かを調べよ。
(a₁^p+a₂^p+...+ a_n^p) (a₁^q+a₂^q+...+ a_n^q) ≥ (a₁^r+a₂^r+...+ a_n^r) (a₁^s+a₂^s+...+ a_n^s)

公式０(相加相乗平均の定理)
(a₁ⁿ+a₂ⁿ+...+ a_nⁿ)/n ≥ a₁a₂...a_n

問題３
m を m > n なる自然数とするとき、公式０,公式１を利用して次を示せ。
(a₁^m+a₂^m+...+ a_n^m) ≥ a₁a₂...a_n (a₁^m-n+a₂^m-n+...+ a_n^m-n)

　　　　　　　(コメントは下段にて)

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問題１　m についての数学的帰納法で行う。

問題２　p+q = r+s より q-p = r-p + s-p である。a, b を正の実数とするとき、
　　　　　a^pb^q+a^qb^p - (a^rb^s+a^sb^r) = a^pb^p (b^q-p+a^q-p - (a^r-pb^s-p+a^s-pb^r-p)) = a^pb^p(a^r-p-b^r-p) (a^s-p-b^s-p) ≥ 0 である。これを使う。

問題３　これは易しい。