相似の話 定理 B を AC 上の点で、 D を AE 上の点で AB : AC = AD : AE　とする。 このとき BD と CE は平行で BD : CE = AB : AC である。 証明 　　(増加を押す) C を通り BD に平行な直線と 直線 AD との交点を F とおく。 (F = E を示す) r = AC/AB, r' = AF/AD とおく。 q を q < r なる任意の有理数とする。 　　(増加を押す) 直線 AC 上に G を 直線 AE 上に H を AG = qAB, AH = qAD となるようにとる。 q が有理数なので BD と GH は平行で 　GH = qBD となる。 CF は BD と平行で GH も BD と平行なので CF は GH と平行である。 AG/AB = q < r = AC/AB なので AG < AC である。 つまり G は A と C の間にある。 CF と GH は平行なので H は A と F の間にある。 故に qAD = AH < AF = r'AD である。 これより q < r' を得る。 CF と GH は平行で 　G は A と C の間にあるので qBD = GH < CF つまり q < CF/BD である。 (r は正で) q < r なる全ての正の有理数に対して q < r' が成り立つので r ≤ r' である。 q < r なる全ての正の有理数に対して q < CF/BD が成り立つので r ≤ CF/BD である。 　　(増加を押す) 次に r < q なる全ての有理数に対して 同様の議論を行って r' ≤ r と CF/BD ≤ r を得る。 つまり r' = r と CF/BD = r を得る。 r' = r より F = E であり CE/BD = CF/BD = r = AC/BD より BD : CE = AB : AC を得る。 　 一つ戻る　　 始めに戻る　　 戻る