相加相乗平均の定理

一般の証明

m ≥ 4 として m-1 までは主張は正しいとする。
k=1, a₁a₂ ... a_m = 1 としてよい(reduction)

n = m のとき
φ = Σ_{1 ≤ i ≤ m}a_i^m とおく。
　1 ≤ k ≤ m なる k に対して, 帰納法の仮定より。
φ - a_k^m ≥ Σ_{1 ≤ i ≤ m i ≠ k} a_i/a_k
であるから
(m-1)φ ≥ Σ_{1 ≤ k ≤ m}Σ_{1 ≤ i ≤ m i ≠ k} a_i/a_k = Σ_{1 ≤ i < k ≤ m} (a_i/a_k+a_k/a_i)
　　 ≥ Σ_{1 ≤ i < k ≤ m} 2 = m(m-1)
これより φ ≥ m を得る。(等号条件もうまく行く)

n > m のとき。　s = n-m とおく。
φ = Σ_{1 ≤ i ≤ m}a_iⁿ とおく。
　1 ≤ k ≤ m なる k に対して, 帰納法の仮定より。
φ - a_kⁿ ≥ Σ_{1 ≤ i ≤ m i ≠ k} a_i^s+1/a_k　である。
(m-2)Σ_{1 ≤ i ≤ m i ≠ k} a_i^s+1 = Σ_{1 ≤ i < j ≤ m i,j ≠ k} (a_i^s+1 + a_j^s+1)
　≥ Σ_{1 ≤ i < j ≤ m i,j ≠ k} (a_i^sa_j + a_ia_j^s) であるから
(m-2)(m-1)φ = (m-2)Σ_{1 ≤ k ≤ m} (φ - a_kⁿ)
　≥ Σ_{1 ≤ k ≤ m} Σ_{1 ≤ i < j ≤ m i,j ≠ k} (a_i^sa_j + a_ia_j^s)/a_k
　= Σ_{1 ≤ i ≤ m} Σ_{1 ≤ j < k ≤ m j,k ≠ i} (a_i^sa_j/a_k + a_i^sa_k/a_j)
　 ≥ Σ_{1 ≤ i ≤ m} Σ_{1 ≤ j < k ≤ m j,k ≠ i} 2a_i^s = (m-1)(m-2)Σ_{1 ≤ i ≤ m} a_i^s
つまり
φ ≥ Σ_{1 ≤ i ≤ m} a_i^s
を得る。これで証明は完結する。
(等号条件もうまく行く。)
(これがわかりにくい人は実際 m = 4 のとき
このプログラムに沿って手を動かして下さい。)

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