相加相乗平均の定理

解答

証明例をもう少し続ける。
a₁⁷ + a₂⁷ + a₃⁷ + a₄⁷ + a₅⁷　≥ a₁a₂a₃a₄a₅ (a₁²+a₂² +a₃²+a₄² +a₅²)
を証明しよう。
a₁a₂a₃a₄a₅ = 1 としてよい(reduction)
φ = a₁⁷ + a₂⁷ + a₃⁷ + a₄⁷ + a₅⁷　とおく
帰納法の仮定より次を得る。
a₁⁷ + a₂⁷ + a₃⁷ + a₄⁷ ≥ a₁a₂a₃a₄ (a₁³+a₂³+ a₃³+a₄³)
を得る。ここで
3(a₁³+a₂³+ a₃³+a₄³) = Σ_{1 ≤ i < j ≤ 4} (a_i³+a_j³) ≥ Σ_{1 ≤ i < j ≤ 4} (a_i²a_j+a_ia_j²)
　　= Σ_{1 ≤ i ≤ 4} Σ_{1 ≤ j ≤ 4 j ≠ i} a_i²a_j
であり、a₁a₂a₃a₄a₅ = 1 であるから
3(φ - a₁⁷) ≥ 3(a₁³+a₂³ +a₃³+a₄³)/a₅ ≥ Σ_{1 ≤ i ≤ 5 i ≠ 5} Σ_{1 ≤ j ≤ 5 j ≠ i,5} a_i²a_j
をえる。同様にして 1 ≤ k ≤ 5 のとき
3(φ - a_k⁷) ≥ Σ_{1 ≤ i ≤ 5 i ≠ k} Σ_{1 ≤ j ≤ 5 j ≠ i,k} a_i²a_j
をえる。以上より
12φ = Σ_{1 ≤ k ≤ 5} 3(φ - a_k⁷) ≥ Σ_{1 ≤ k ≤ 5} Σ_{1 ≤ i ≤ 5 i ≠ k} Σ_{1 ≤ j ≤ 5 j ≠ i,k} a_i²a_j
Σ_{1 ≤ i ≤ 5} Σ_{1 ≤ j < k ≤ 5 j,k≠ i} (a_i²a_j/a_k +a_i²a_k/a_j)
　 ≥ Σ_i=1⁵ Σ_{1 ≤ j < k ≤ 5 j,k≠ i} 2a_i² = 12Σ_{1 ≤ i ≤ 5} a_i²
を得る。これで証明は完結する。
(等号条件もうまく行く。)

解答
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