解答 証明例をもう少し続けて a16 + a26 + a36 + a46 + a5　≥ a1a2a3a4a5 (a1+a2+a3+a4+a5) を証明しよう。 α を α5 = a1a2a3a4a5 なる 正の実数とおき bi = ai/α 　(i = 1,2,,3,4,5) とおくとき b1b2b3b4b5 = 1 である。 b16 + b26 + b36 + b46 + b56　≥ b1+b2+b3+b4+b5 が示せたら、両辺に α6 をかけて a16 + a26 + a36 + a46 + a5　≥ a1a2a3a4a5 (a1+a2+a3+a4+a5) をえる。等号条件もうまく行く。従って 証明するにあたって a1a2a3a4a5 = 1 としてよい(reduction) φ = a16 + a26 + a36 + a46 + a56　 とおく 帰納法の仮定より次を得る。 a16 + a26 + a36 + a46 ≥ a1a2a3a4 (a12+a22+ a32+a42) を得る。ここで 3(a12+a22+ a32+a42) = Σ1 ≤ i < j ≤ 4 (ai2+aj2) ≥ Σ1 ≤ i < j ≤ 4 2aiaj であり、a1a2a3a4a5 = 1 であるから 3(φ - a16) ≥ 3(a12+a22 +a32+a42)/a5 ≥ Σ1 ≤ i < j ≤ 5 i,j≠ 5 2aiaj/a5 をえる。同様にして 1 ≤ k ≤ 5 のとき 3(φ - ak6) ≥ Σi ≤ i < j ≤ 5 i,j≠ k 2aiaj/ak をえる。以上より 12φ = Σk=15 3(φ - ak6) ≥ Σk=15 Σi ≤ i < j ≤ 5 i,j≠ k 2aiaj/ak 　 ≥ Σi=15 Σ1 ≤ j < k ≤ 5 j,k≠ i (aiaj/ak +aiak/aj) 　 ≥ Σi=15 Σ1 ≤ j < k ≤ 5 j,k≠ i 2ai = 12Σi=15 ai を得る。これで証明は完結する。 (等号条件もうまく行く。) 少しわかりにくいが、次はこれよりはわかり易い。 次に続く 一つ戻る 解答 戻る