内接円と外接円(半径と中心間の距離) �僊BC において 外心を O, 外接円の半径を R 内心を I, 内接円の半径を r とするとき 　OI2 = R×(R-2r) である。 特に 　r ≤ R/2 　であり 　r = R/2 のときは �僊BC は正三角形である。 関連の話 戻る

�僊BC の外接円が単位円となるように座標をいれ、 計算の話 と同じ記号を使うことにする。
フォイエルバッハの証明 のところで示したように

r = (σ + σ)/2 - 1

I に対応する複素数は δ であり

OI² = 　δδ = 3 - σ - σ　　 である。

よって

OI² = 1 - 2r　　が成り立つ。

後半の 　r ≤ R/2 の部分は明らかであり、 r = R/2 のときは O = I, つまり、�僊BC は外心と内心が一致するので正三角形となる。