傍心、内心、外心、重心、垂心、九点円の中心 �僊BC の三つの傍心を各々 J, K, L として �僊BC の内心と外心を各々 I, O とする。 �價KL の重心を M とおく。 また P を �價KL の外心とする。 このとき (1)　O は MI を 1:3 に内分する点である。 (2)　I は �價KL の垂心である。 (3)　�僊BC の外接円 は �價KL 九点円である。 (4)　O は PI の中点である。 戻る

(1)　�僊BC の外接円を単位円となるように座標を入れて、 計算の話と同じ記号をつかうと, 内心の話より
O,I に対応する複素数は 0, δ = αb + βc + γa であり
傍心の話より J, K, L に対応する複素数は各々
δ_a = αb - βc - γa, δ_b = - αb + βc - γa, δ_c = - αb - βc + γa 　(順不同)である。
M に対応する複素数は (δ_a+δ_b+δ_c)/3 = -δ/3 　 となるので、求める結果を得る。
もちろん、こんな計算をするまでもなく、(2),(3),(4) より (1) は直ちにでてくる。

(2)　JA と KL, KB と LJ, LC と JK が互いに直交し、 JA, KB, LC が I で交わることは明らかなので I は �價KL の垂心である。
(3)　(2) の話より �僊BC の外接円は �價KL の九点円である。
(4)　(2),(3) より O は PI の中点であることがわかる。
　　　　�價KL の外接円の半径が�僊BC の外接円の半径の 2 倍であることもすぐわかる