解答 I を �僊BC 内心として D,E,F を I から辺 BC, CA, AB の各々下ろした垂線の足とする。 このとき AE = AF, BF = BD, CD = CE である。 α = AE, β = BD, γ = CE とおき、与えられた式を S とおくと a = β + γ, b = γ + α, c = α + β で a+b-c = 2γ, b+c-a = 2α, c+a-b = 2β なので 8S = (β + γ)4/(γ2β) (γ + α)4/(α2γ) (α + β)4/(β2α) となる。これから 　　 8S ≥ 16(α + β + γ) が成り立つことを示そう。これが示せたら 　　 16(α + β + γ) = 8(a + b + c) = 8 なので S ≥ 1 が示せたことになる。 (β + γ)4/(γ2β) = β3/γ2 + 4β2/γ + 6β + 4γ + γ2/β (γ + α)4/(α2γ) = γ3/α2 + 4γ2/α + 6γ + 4α + α2/γ (α + β)4/(β2α) = α3/β2 + 4α2/β + 6α + 4β + β2/α 　なので (1)　β3/γ2 + γ2/β ≥ 2β, γ3/α2 + α2/γ ≥ 2γ, α3/β2 + β2/α ≥ 2α (2)　β2/γ + γ2/α + α2/β ≥ α + β + γ の二つが示せたら 8S ≥ 16(α + β + γ) が示せたことになる。 (1) は相加相乗平均値の定理より明らかなので、 (2) を示すことにする。 続く　　 一つ戻る　　 戻る