本庄君の解答 α = a+b-c, β = b+c-a;, γ = c+a-b とおくと α > 0, β > 0, γ > 0, α + β + γ = a + b + c, 2a = γ + α , 2b = α + β, 2c = β + γ である。 S = a4/(α2γ) + b4/(β2α) + c4/(γ2β) 　とおくとき　 S ≥ a + b + c　 である これを証明しょう。これが示されれば、始めの問題が示されたことになる。 (2a)2 - 4γα = (γ + α)2 - 4γα = (γ - α)2 ≥ 0 より a2 ≥ γα である。 同様にして 　b2 ≥ αβ　で　c2 ≥ βγ である 従って　 a4/(α2γ) ≥ α2γ2/(α2γ) = γ, b4/(β2α) ≥ β2α2/(β2α) = α, c4/(γ2β) ≥ γ2β2/(γ2β) = β であるから 　S ≥ γ + β + γ = a + b + c が証明された。 発展問題を示すには、α, β, γ を上記と同じにとり、p,q,r を p = q + r + 1 なる自然数としたとき S = ap/(αqγr) + bp/(βqαr) + cp/(γqβr) 　とおくとき　 S ≥ a + b + c　 である これを示せばよい。 a2r ≥ γrαr, 　b2r ≥ αrβr, 　c2r ≥ βrγr であるので T = ap-2r/αq-r + bp-2r/βq-r + cp-2r/γq-r　とおくとき　 S ≥ T　である。 従って　T ≥ a + b + c を示せばよい。それは次の定理より示される。 定理 a, b, c, α, β, γ を α + β + γ = a + b + c を満たす正の実数として n を整数とするとき an+1/αn + bn+1/βn + cn+1/γn ≥ a + b + c が成り立つ。 続く　　 一つ戻る　　 戻る