初等幾何学

証明

先ず n が 0 以上の整数のとき主張が成り立つことを、数学的帰納法で示す。
n = 0 のときは明らかに成立する。
k を 0 以上の整数として、0 ≠ n ≠ k のとき主張が成立していると仮定する。
このとき n = k+1 のときも主張が成立することをしめす。(シュワルツの不等式を使う)

Case 1　k が偶数のとき k = 2m を満たす 0 以上の整数 m が成立している。
0 ≥ m ≥ k なので、数学的帰納法の仮定より

a^m+1/α^m + b^m+1/β^m + c^m+1/γ^m ≥ a + b + c　が成立している。

aⁿ⁺¹/αⁿ + bⁿ⁺¹/βⁿ + cⁿ⁺¹/γⁿ = a^2m+1/α^2m + b^2m+1/β^2m + c^2m+1/γ^2m　である。

(a^2m+1/α^2m + b^2m+1/β^m + c^2m+1/γ^m)(a + b + c) ≥ (a^m+1/α^m + b^m+1/β^m + c^m+1/γ^m)²
　　　　 ≥ (a + b + c)²　が成立している。

a + b + c > 0 なので、(k が偶数のとき) n = k+1 のときも成立している。

Case 2　k が奇数のとき k = 2m+1 を満たす 0 以上の整数 m が成立している。
0 ≥ m ≥ k なので、数学的帰納法の仮定より

a^m+1/α^m + b^m+1/β^m + c^m+1/γ^m ≥ a + b + c　が成立している。

aⁿ⁺¹/αⁿ + bⁿ⁺¹/βⁿ + cⁿ⁺¹/γⁿ = a^2m+2/α^2m+1 + b^2m+2/β^2m+1 + c^2m+2/γ^2m+1　である。

(a^2m+2/α^2m+1 + b^2m+2/β^2m+1 + c^2m+2/γ^2m+1)(α + β + γ) ≥ (a^m+1/α^m + b^m+1/β^m + c^m+1/γ^m)²
　　　 ≥ (a + b + c)²　が成立している。

α + β + γ = a + b + c > 0 より
(k が奇数のときも) n = k+1 のときも成立している。

n が負のときは -n は正である。-n を m とおくと、既に示したことより
α^m+1/a^m + β^m+1/b^m + γ^m+1/c^m ≥ α + β + γ = a + b + c　が成立している。

aⁿ⁺¹/αⁿ + bⁿ⁺¹/βⁿ + cⁿ⁺¹/γⁿ = α^m+1/a^m + β^m+1/b^m + γ^m+1/c^m

なので、n が負のときも主張は成り立っている。

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