辺の長さが AB = BC = r, AD = 2r とする。
さらに、辺 CD 上に点 E があり
三つの三角形 僊BC, 僊CE, 僊DE の
面積はすべて等しいとする。
α = ∠BAC, β = ∠CAD とおく。
(1) α = β を示せ。
(2) cos ∠DAB = 3/5 であるとするとき、
sin ∠CAE の値を求めよ。
続き
(2)
F を C より直線 AB に下ろした垂線の足とする。
(F は 直線 AB 上の点で ∠CFA = 90°とする)
AB = BC なので ∠BCA = ∠BAC
∴ ∠BCA = α = β = ∠DAC
よって AD と BC は平行である。
∴ ∠CBF = ∠DAB
BA = r で cos ∠CBF = cos ∠DAB = 3/5 なので
BF = (3/5)r, CF = (4/5)r である。
(長さが 3, 4, 5 の直角三角形を思い出す)
AF = (8/5)r, BF = (4/5)r, ∠CFA = 90°なので
AC = (4
/5)r である。AC2 = (16/5)r2 = AD×AF なので
AD : AC = AC : AF
∠DAC = ∠CAF だったので
僖AC と 僂AF は相似である。
∴ ∠DCA = 90°で AC : CD = AF : FC = 2 : 1
僊CE と 僊DE は面積が等しいので E は CD の中点
∴ AC : CE = 4 : 1
∠DCA = 90°なので sin ∠CAE = root(17)/17 である。
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