すべての内角が180°より小さい四角形 ABCD がある。 辺の長さが AB = BC = r, AD = 2r とする。 さらに、辺 CD 上に点 E があり 三つの三角形 �僊BC, �僊CE, �僊DE の 面積はすべて等しいとする。 α = ∠BAC, β = ∠CAD とおく。 (1)　α = β を示せ。 (2)　cos ∠DAB = 3/5 であるとするとき、 　　sin ∠CAE の値を求めよ。 　 続き (2) F を AD の中点とおくと AF = r = AB, AC は共通で ∠FAC = β = α = ∠BAC なので �僥AC と �傳AC は合同である。 ∴ CF = BC である。 AB = BC = FC = FA なので ABCF はひし形をなす。 よって FB と AC は互いに他を垂直二等分している。 G を AC と BF の交点とする。 F は AD の中点、 G は AC の中点なので FG と DC は平行 F は AD の中点、 E は DC の中点なので FE と AC は平行 ∠FGC = 90°であるから FGCE は長方形をなす。 x = cos ∠FAG, y = tan ∠FAG とおくと 2x2 - 1 = cos 2∠FAG = cos ∠DAB = 3/5 y2 = 1/x2 - 1 より y2 = 1/4 y > 0 より y = 1/2 ∴ AG : GF = 2 : 1 AC : CE = 2×AG : GF = 4 : 1 よって sin ∠CAE = root(17)/17 である。 一つもどる戻る　　 戻る