黄色の部分の面積を求めればよい。 解法１ ∠PQO を θ とおく。(0 ≤ θ ≤ π/2) PQ = 1 なので PO = sin θ である よって RQ = PQ - PR = AO - AP = PO = sin θ となる QO = cos θ に注意して 　R(sin2θ,cos θ - sin θcos θ) を得る。 x = sin2θ y = cos θ - sin θcos θ とおく 解法１−１ sin θ ≥ 0, cos θ ≥ 0 なので sin θ = root(x), cos θ = root(1-x) である。 故に y = root(1-x) - root(x(1-x)) である。 root(1-x) - root(x(1-x)) を x について 0 から 1 まで定積分して 2/3 - π/8 を得る。これが求める答えである。 解法１−２ y dx = 2(cos θ - sin θcos θ)sin θcos θ d θ である。 θ が 0 から π/2 に変化するとき x が 0 から 1 まで変化する。 2 cos2 θ sin θ の θ について 0 から π/2 の定積分は 2/3 である。 2 cos2 θ sin2 θ の θ について 0 から π/2 の定積分は π/8 である。((*) 参照) 次に続く　　　　 一つ戻る　　　　 戻る

(*) sin² θ の θ について 0 から π/2 の定積分を I_2n とおくと
I₀ = π/2 である。
(cos θ sin^2n-1 θ)' = - sin²ⁿ θ + (2n-1)cos² θ sin^2n-2 θ = (2n-1)sin^2n-2 θ - 2n sin²ⁿ であるので
　(2n-1)I_2n-2 - 2n I_2n = 0 である。
I₂ = (1/2)I₀ = π/4, I₄ = (3/4)I₂ = 3π/16 である。
2 cos² θ sin² θ の θ について 0 から π/2 の定積分 = 2(I₂ - I₄) = π/8 である。