横国問題 θ = 360°/7　とする (1)　cos 3θ = cos 4θ であることを示せ。 (2)　cos θ, cos 2θ, cos 3θ が解となるような、 　　　係数がすべて整数であるような３次方程式を求めよ。 (3)　(1 + 4 cos2 θ)(1 + 4 cos2 2θ) (1 + 4 cos2 3θ) を求めよ (2)　α = cos θ + i sin θ 　とおくと α-1 = cos θ - i sin θ　で　 α + α-1 = 2 cos θ α7 = 1 で α ≠ 1 より α6 + α5 + α4 + α3 + α2 + α + 1 = 0 ∴ α3 + α2 + α + 1 + α-1 + α-2 + α-3 = 0 ∴ (α + α-1)3 + (α + α-1)2 - 2 (α + α-1) - 1 = 0 よって 2 cos θ は 方程式 　x3 + x2 - 2x - 1 = 0 の解である。 cos 2θ + i sin 2θ, cos 3θ + i sin 3θ に同じことを行って 2 cos 2θ, 2 cos 3θ が同じ方程式 　x3 + x2 - 2x - 1 = 0 の解であることがわかる。 ∴　(x - 2 cos θ)(x - 2 cos 2θ)(x - 2 cos 3θ) = x3 + x2 - 2x - 1 上式の x に 2x を代入して ∴　(2x - 2 cos θ)(2x - 2 cos 2θ)(2x - 2 cos θ) = 8x3 + 4x2 - 4x - 1 よって求める方程式は 8x3 + 4x2 - 4x - 1 = 0 続く　　 戻る