西田尚史さんの問題の解答編(5) U についての考察を続けよう。 U ∋ (2α,a+bi,2β) のとき (あ)　a2 + b2 - 1 = 4αβ であり、α > 0, β > 0 である。 a/(2α)+bi/(2α) を中心として半径 1/(2α) の円が T1 に属して いるので 1 ≤ a/(2α) - 1/(2α) < a/(2α) + 1/(2α) ≤ 2 である。 これより 2α ≤ a-1 かつ a+1 ≤ 4α となる。これから 3 ≤ a, 1 ≤ α を得る。つまり (い)　2α ≤ a-1 かつ a+1 ≤ 4α, 3 ≤ a, 1 ≤ α である。 図形の実数軸に関する対称性より、次を得る。 (う)　U ∋ (2α,a-bi,2β) である。 T1 に属する円を、n を整数として 2ni だけ平行移動した円も T1 に属する。つまり a/(2α)+bi/(2α)+ni を中心として半径 1/(2α) の円も T1 に属して いる。 対応する U のデータは (2α, a+(b+2nα),2β') の形をしている。 a2+(b+2nα)2-1 = a2+b2-1+4nbα+4n2α2 = 4αβ+4nbα+4n2α2 　　　　　　= 2α(2β+2nb+2n2α)　なので 2β' = 2β+2nb+2n2α となる。つまり (え)　任意の整数 n に対して U ∋ (2α, a+(b+2nα)i,2(β+nb+n2α)) である。 次に続く 一つ戻る 初めに戻る