西田尚史さんの問題の解答編(11) 補題 (2α,a+bi,2β) を U の元として φ(2α,a+bi,2β) = (2α,a+bi,2β) とすると (2α,a+bi,2β) = (2,3,4) である。 証明 (2α,a+bi,2β) ≠ (2,3,4) と仮定しよう。 φ(2α,a+bi,2β) = (2α,a+bi,2β) であるから 0 ≤ b, b ≤ α, a ≤ 3α, a ≤ β を得る。よって b ≤ α, a ≤ 3α に注目して 4αβ = a2+b2-1 < a2+b2 ≤ 10α2 を得る。 α > 0 なので (2/5)β < α を得る。 一方 a ≤ β であり (い)より 2α ≤ a-1 なので 2α ≤ a-1 < a ≤ β を得る。ところで b ≤ α, a ≤ β に注目して 4αβ = a2+b2-1 < a2+b2 ≤ β2+α2 を得る。 0 < β で (2/5)β < α より (8/5)β2 < 4αβ 2α < β より β2+α2 < (5/4)β2 を得るから (8/5)β2 < (5/4)β2 を得るが、これは不可能である。 よって (2α,a+bi,2β) = (2,3,4) である。 次に続く 一つ戻る 初めに戻る