西田尚史さんの問題の解答編(12) 補題 (2α,a+bi,2β) を U の元として φ(2α,a+bi,2β) = (2α',a'+b'i,2β') とし α',a',b',β' が全て整数とすると α,a,b,β も整数である。 証明 Case 1: 　b < 0 のとき (2α',a'+b'i,2β') = (2α,a-bi,2β)　より 　α = α', a = a', b = -b', β = β' である。 Case 2:　上記以外で 　α < b のとき (2α',a'+b'i,2β') = (2α,a+(b-2α)i,2(β-b+α) より 　α = α', a = a', b = b'+2α', β = β'+b'+α' である。 Case 3:　上記以外で 　3&alpha < a のとき (2α',a'+b'i,2β') = (2α,6α-a+bi,2(9α-3a+β)) より 　α = α', a = 6α'-a', b = b', β = 9α'-3a'+β' である。 Case 4:　上記以外で 　(2α,a+bi,2β) ≠ (2,3,4) かつ &beta < a のとき (2α',a'+b'i,2β') = (2(α-a+β),2β-a+bi,2β)　より 　α = α'-a'+β', a = 2β'- a', b = b', β = α' である。 case 5: 上記以外は (2α',a'+b'i,2β') = (2α,a+bi,2β) より 　α = α', a = a', b = b', β = β' である。 以上より、補題は明らかに成り立つ。 次に続く 一つ戻る 初めに戻る