西田尚史さんの問題の解答編(13) 補題 (2α,a+bi,2β) を U の元とする。このとき、 自然数 n で φn+1(2α,a+bi,2β) = φn(2α,a+bi,2β) を満たすものが存在する。 証明 全ての自然数 n に対して φn+1(2α,a+bi,2β) ≠ φn(2α,a+bi,2β) と仮定する。 勿論このときは φn(2α,a+bi,2β) ≠ (2,3,4) がいつも成り立っている。 φ で順次移していくとき Case1 が２回続くことは無い Case4 が２回続くことはない Case4 の後に Case1 が続くことはない 従って ３回続ければ、そのどれかで Case2, Case3 のいづれかで移すことになる。 φn(2α,a+bi,2β) = (2αn,an+bni,2βn) とおくとき β1 ≥ β2 ≥ β3 ≥ β4 ≥ ... ≥ βn ≥ ... であり等号が３回続くことはない このデータ (2αn,an+bni,2βn) に対応する S1 に属する円を C(n) とおくとき β3 > β6 > β9 > β12 > ... > β3n > ... 　　である。 C(n) は半径 1/(βn) の円であるから S1 に属する円で半径が 1/(β3) 以上のものが 無限に存在することになる。 これらは、内部を共有することがなく、 しかも、半径が 1/2 の円内に含まれているから このようなことはあり得ない。 従って補題は証明された。 次に続く 一つ戻る 初めに戻る