図のように O を原点
L と x 軸、 y 軸との交点を各々 C,D
円の中心を各々 K,M,P,R とおく。
次に注意する。β = α/2 とおいておく
(1) ∠FBA = β ∠EAB = 45°- β
(2) ∠DBA = 90°- β ∠CAB = 45°+ β
(3) AB = r/(tan ∠FBA) + 2r + r/(tan ∠EAB)
(4) AB = R/(tan ∠DBA) + 2R + R/(tan ∠CAB)
(5) r/R
= (1/tan (90°- β)+ 2 + 1/tan(45°+ β))/ (1/(tan β) + 2 + 1/(tan 45°- β))
(6) b = tan β とおくと
r/R = (b + 2 + (1-b)/(1+b))/(1/b + 2 + (1+b)/(1-b))
= b(1-b)(b+b2+2+2b+1-b)/((1+b)(1-b+2b-2b2+b+b2))
= b(1-b)(b2+2b+3)/((1+b)(-b2+2b+1))
(7) s = sin β , c = cos β とおくと
r/R = s(c-s)(s2+2cs+3c2)/(c(c+s)(-s2+2cs+c2))
(8) t = c(c+s) とおくと s2+c2 = 1 に注意して
r/R = (t-1)(1+2t)/(t(2t-1)) = 1 - 1/(t(2t-1))
(9) 2t = 2(cos &beta)2 + 2sin βsin β = cos 2β + 1 + sin 2β = cos α + sin α + 1 より
(10) r/R = 1 - 2/(cos α + sin α + 1)(cos α + sin α)
(11) 0 < θ < π/2 のとき
cos α + sin α の値域は (1,
)(cos α + sin α + 1)(cos α + sin α) の値域は (2,2 +
)2/(cos α + sin α + 1)(cos α + sin α) の値域は (2 -
,1)従って
r/R の値域は (0,
-1) である。
あんまり上手でないね。でも図はうまく描けた
増加・減少を押すと θ が変化します。
問題１ 問題２ 問題３ 参照
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