相加相乗平均の定理

解答

k = 1 のとき示されたとすると
a₁ⁿ + a₂ⁿ + ... + a_mⁿ
　　 ≥ a₁ a₂ ... a_m (a₁^n-m + a₂^n-m + ... + a_m^n-m)
a₁^n-m + a₂^n-m + ... + a_m^n-m
　　 ≥ a₁ a₂ ... a_m (a₁^n-2m + a₂^n-2m + ... + a_m^n-2m)
　　...
　　...
a₁^n-(k-1)m + a₂^n-(k-1)m + ... + a_m^n-(k-1)m
　　 ≥ a₁ a₂ ... a_m (a₁^n-km + a₂^n-km + ... + a_m^n-km)
　と順に示せて、求める不等式
a₁ⁿ + a₂ⁿ + ... + a_mⁿ
　　 ≥ a₁^k a₂^k ... a_m^k (a₁^n-mk + a₂^n-mk + ... + a_m^n-mk)
　を得る。もちろん等号が成立するのは
a₁ = a₂ = ...= a_m　のときのみである。

従って k = 1 のときのみ示そう。

このように、特別な場合に証明すれば、
一般に証明ができることより、
特別な場合に限定することを
その場合に帰結、還元(reduct)するという。

この場合は
　k = 1 としてよい　という言い方をする。

これは、 k = 1 の場合に reduct している。
　(reduction)

次に続く
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解答
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