１ xy 平面上の放物線 A : y = x2, B = -(x-a)2 + b は異なる２点 P(x1.y1)、Q(x2.y2) (x1 > x2) で交わるとする。
(1) x1 - x2 = 2 が成り立つとき、b を a で表せ
(2) x1 - x2 = 2 を満たしながら a, b が変化するとき、直線 PQ の通過する領域を求め、図示せよ。
(3) PQ = 2 を満たしながら a, b が変化するとき、線分 PQ の中点の y 座標の最小値を求めよ。
２ z を複素数とし、i を虚数単位とする。
(1) 1/(z+i) + 1/(z-i) が実数となる点 z 全体の描く図形 P を複素数平面上に図示せよ。
(2) z が上で求めた図形 P 上を動くときに w = (z+i)/(z-i) の描く図形を複素数平面上に図示せよ。
３ 曲線 y = x2 (0 ≤ x ≤ 1) を y 軸まわりに回転してできる形の 容器に水を満たす。この容器のそこに排水口がある。時刻 t = 0 に排水口をを明けて排水を 開始する。時刻 t において容器に残っている水の深さを h, 体積を V とする。V の変化率 dV/dt は dV/dt = -root(h) で与えられる。
(1) 水深 h の変化率 dh/dt を h を用いて表せ。
(2) 容器内の水を完全に排水するのにかかる時間 T を求めよ。
４ 点 P は数直線上を原点 O を出発点として、確率がそれぞれ 1/2 で正の向きに 1 進み、または負の向きに 1 進むとする。n 回移動した時の P の座標を X(n) で表す。
(1) X(8) = 2 となる確率を求めよ。
(2) |X(7)| の期待値を求めよ。
(3) P が 6 回目の移動が終わった時点で、一度も O に戻っていない確率を求めよ。
５ 半径１の円に内接する正ｎ角形が xy 平面上にあるひとつの辺 AB が x 軸に 含まれている状態から始めて、正ｎ角形をずのように x 軸をすべらないようにころがし、 再び点 A が x 軸に含まれる状態まで続ける。点 A が描く軌跡の長さを L(n) とする。
(1) L(6) を求めよ。
(2) n
∞ のときの L(n) の極限値を
求めよ。(図入り)| １の解答 | ２の解答 | ３の解答 |
| ４の解答 | ５の解答 |